數(shù)學(xué)運(yùn)算之比例問題專題

 

　　關(guān)鍵提示：

　　比例問題是公務(wù)員考試必考題型，也是數(shù)學(xué)運(yùn)算中最重要的題型;

　　解決好比例問題，關(guān)鍵要從兩點(diǎn)入手：第一，“和誰比”;第二，“增加或下降多少”。

　　【例1 】 b比a增加了20%，則b是a的多少? a又是b的多少呢?

　　【解析】可根據(jù)方程的思想列式得 a×(1+20%)=b，所以b是a的1.2倍。

　　A/b=1/1.2=5/6，所以a 是b的5/6。

　　【例2】 養(yǎng)魚塘里養(yǎng)了一批魚，第一次捕上來200尾，做好標(biāo)記后放回魚塘，數(shù)日后再捕上100尾，發(fā)現(xiàn)有標(biāo)記的魚為5尾，問魚塘里大約有多少尾魚?

　　A.200 B.4000 C.5000 D.6000 (2004年中央B類真題)

　　解析：方程法：可設(shè)魚塘有X尾魚，則可列方程，100/5=X/200，解得X=4000，選擇B。

　　【例3 】 2001年，某公司所銷售的計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)比上一年度上升了20%，而每臺(tái)的價(jià)格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計(jì)算機(jī)銷售額為3000萬元，那么2000年的計(jì)算機(jī)銷售額大約是多少?

　　A.2900萬元 B.3000萬元 C.3100萬元 D.3300萬元(2003年中央A類真題)

　　【解析】方程法：可設(shè)2000年時(shí)，銷售的計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)為X，每臺(tái)的價(jià)格為Y，顯然由題意可知，2001年的計(jì)算機(jī)的銷售額=X(1+20%)Y(1-20%)，也即3000萬=0.96XY，顯然XY≈3100。答案為C。

　　特殊方法：對(duì)一商品價(jià)格而言，如果上漲X后又下降X，求此時(shí)的商品價(jià)格原價(jià)的多少?或者下降X再上漲X，求此時(shí)的商品價(jià)格原價(jià)的多少?只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運(yùn)用簡(jiǎn)化公式，1-X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時(shí)則不可運(yùn)用簡(jiǎn)化公式，需要一步一步來。對(duì)于此題而言，計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)比上一年度上升了20%，每臺(tái)的價(jià)格比上一年度下降了 20%，因?yàn)殇N售額=銷售臺(tái)數(shù)×每臺(tái)銷售價(jià)格，所以根據(jù)乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的 1-(20%) =0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100。

　　【例4 】 生產(chǎn)出來的一批襯衫中大號(hào)和小號(hào)各占一半。其中25%是白色的，75%是藍(lán)色的。如果這批襯衫總共有100件，其中大號(hào)白色襯衫有10件，問小號(hào)藍(lán)色襯衫有多少件?

　　A.15 B.25 C.35 D.40 (2003年中央A類真題)

　　【解析】這是一道涉及容斥關(guān)系(本書后面會(huì)有專題講解)的比例問題。

　　根據(jù)已知 大號(hào)白=10件，因?yàn)榇筇?hào)共50件，所以，大號(hào)藍(lán)=40件;

　　大號(hào)藍(lán)=40件，因?yàn)樗{(lán)色共75件，所以，小號(hào)藍(lán)=35件;

　　此題可以用另一思路進(jìn)行解析(多進(jìn)行這樣的思維訓(xùn)練，有助于提升解題能力)

　　大號(hào)白=10件，因?yàn)榘咨?5件，所以，小號(hào)白=15件;

　　小號(hào)白=15件，因?yàn)樾√?hào)共50件，所以，小號(hào)藍(lán)=35件;

　　所以，答案為C。

    【例5】 某企業(yè)發(fā)獎(jiǎng)金是根據(jù)利潤提成的，利潤低于或等于10萬元時(shí)可提成10%;低于或等于20萬元時(shí)，高于10萬元的部分按7.5%提成;高于20萬元時(shí)，高于20萬元的部分按5%提成。當(dāng)利潤為40萬元時(shí)，應(yīng)發(fā)放獎(jiǎng)金多少萬元?

　　A.2 B.2.75 C.3 D.4.5 (2003年中央A類真題)

　　【解析】這是一個(gè)種需要讀懂內(nèi)容的題型。根據(jù)要求進(jìn)行列式即可。

　　獎(jiǎng)金應(yīng)為 10×10%+(20-10)×7.5%+(40-20)×5%=2.75

　　所以，答案為B。

　　【例6】 某校在原有基礎(chǔ)(學(xué)生700人，教師300人)上擴(kuò)大規(guī)模，現(xiàn)新增加教師75人。為使學(xué)生和教師比例低于2：1，問學(xué)生人數(shù)最多能增加百分之幾?

　　A.7% B.8% C.10.3% D.115% (2003年中央A類真題)

　　【解析】根據(jù)題意，新增加教師75人，則學(xué)生最多可達(dá)到(300+75)×2=750人，學(xué)生人數(shù)增加的比列則為 (750-700)÷700≈7.1%

　　所以，選擇A。

　　【例7】 某企業(yè)去年的銷售收入為1000萬元，成本分生產(chǎn)成本500萬元和廣告費(fèi)200萬元兩個(gè)部分。若年利潤必須按P%納稅，年廣告費(fèi)超出年銷售收入2%的部分也必須按P%納稅，其它不納稅，且已知該企業(yè)去年共納稅120萬元，則稅率P%為

　　A.40% B.25% C.12% D.10% (2004年江蘇真題)

　　【解析】選用方程法。根據(jù)題意列式如下：

　　(1000-500-200)×P%+(200-1000×2%)×P%=120

　　即 480×P%=120

　　P%=25%

　　所以，答案為B。

　　【例8】 甲、乙兩盒共有棋子108顆，先從甲盒中取出 放人乙盒，再從乙盒取出 放回甲盒，這時(shí)兩盒的棋子數(shù)相等，問甲盒原有棋子多少顆?

　　A.40顆 B.48顆

　　C.52顆 D.60顆 (2004年浙江真題)

　　『答案』 B

　　【解析】 此題可用方程法，設(shè)甲盒有X顆，乙盒有Y顆，則列方程組如下，參見輔助資料。此題運(yùn)用直接代入法或逆推法更快捷。

　  【例 9 】甲乙兩名工人8小時(shí)共加736個(gè)零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，問乙每小時(shí)加工多少個(gè)零件?

　　A.30個(gè) B.35個(gè) C.40個(gè) D.45個(gè) (2002年A類真題)

　　【解析】選用方程法。設(shè)乙每小時(shí)加工X個(gè)零件，則甲每小時(shí)加工1.3X個(gè)零件，并可列方程如下：

　　(1+1.3X)×8=736

　　X=40

　　所以，選擇C。

　　【例 10】已知甲的12%為13，乙的13%為14，丙的14%為15，丁的15%為16，則甲、乙、丙、丁4個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是：

　　A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (2001年中央真題)

　　【解析】顯然甲=13/12%;乙=14/13%;丙=15/14%;丁=16/15%，顯然最大與最小就在甲、乙之間，所以比較甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%>1，

　　所以，甲>乙>丙>丁，選擇A。

　　【例11】某單位召開一次會(huì)議，會(huì)期10天。后來由于議程增加，會(huì)期延長3天，費(fèi)用超過了預(yù)算，僅食宿費(fèi)一項(xiàng)就超過預(yù)算20%，用了6000元。已知食宿費(fèi)用預(yù)算占總預(yù)算的25%，那么，總預(yù)算費(fèi)用是：

　　A.18000元 B.20000元 C.25000元 D.30000元 (2001年中央真題)

　　【解析】設(shè)總預(yù)算為X，則可列議程為，

　　25%X=6000÷(1+20%)，解得X=20000

　　所以，答案為B。

　　【例12】 一種收錄機(jī)，連續(xù)兩次降價(jià)10%后的售價(jià)是405元，那么原價(jià)是：

　　A.490元 B.500元 C.520元 D.560元 (2001年中央真題)

　　【解析】連續(xù)漲(降)價(jià)相同幅度的基本公式如下：

　　a =c a表示漲(降)價(jià)前的價(jià)格;b表示漲(降)價(jià)的百分比;c表示漲(降)價(jià)后的價(jià)格;n連續(xù)漲(降)價(jià)的年數(shù)。

　　如果設(shè)原價(jià)為X，那么由以上公式可列如下方程：

　　X =405，解得X=500

　　所以，答案為B。此題可以選擇代入法快速得到答案。

　　【例13】某企業(yè)1999年產(chǎn)值的20%相當(dāng)于1998年產(chǎn)值的25%，那么，1999年的產(chǎn)值與1998年相比：

　　A.降低了5% B.提高了5% C.提高了20% D.提高了25%(2001年中央真題)

　　【解析】此題可采用直接作比的方法。設(shè)1998年的產(chǎn)值為a，1999年的產(chǎn)值為b，則根據(jù)題意事列方程，a25%=b20%，則1999年的產(chǎn)值與1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的產(chǎn)值比1998年提高了25%。

　　所以，答案為D。

    【例 14】 某人用4410元買了一臺(tái)電腦，其價(jià)格是原來定價(jià)相繼折扣了10%和2%后的價(jià)格，則電腦原來定價(jià)是

　　A.4950元 B.4990元 C.5000元 D.5010元 (2000年中央真題)

　　【解析】采用方程法即可，設(shè)電腦原來定價(jià)是X，則可列方程為

　　X×(1-10%)×(1-2%)=4410，解得X=5000。

　　所以，正確答案為C。

　　注，此題不能用例11的基本公式，因?yàn)榻祪r(jià)幅度不同。

　　【例15】某機(jī)關(guān)共有干部、職工350人，其中55歲以上共有70人?，F(xiàn)擬進(jìn)行機(jī)構(gòu)改革，總體規(guī)模壓縮為180人，并規(guī)定55歲以上的人裁減比例為70%。請(qǐng)問55歲以下的人裁減比例約是多少?

　　A.51% B.43% C.40% D.34% (2000年中央真題)

　　解析：設(shè)55歲以下的人裁減比例為X，則可列方程為：

　　70×(1-70%)+(350-70)×(1-X)=180

　　解得X≈43%

　　所以，正確答案為B。

　　【例16】某儲(chǔ)戶于1999年1月1 日存人銀行60000元，年利率為2.00%，存款到期日即2000年1月1 日將存款全部取出，國家規(guī)定凡1999年11月1日后孳生的利息收入應(yīng)繳納利息稅，稅率為20%，則該儲(chǔ)戶實(shí)際提取本金合計(jì)為

　　A.61 200元 B.61 160元 C.61 000元 D.60 040元

　　【解析】如不考慮利息稅，則1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息為60000×2%=1200，也即100元/月，但實(shí)際上從1999年11月1日后要收20%利息稅，也即只有2個(gè)月的利息收入要交稅，稅額=200×20%=40元

　　所以，提取總額為60000+1200-40=61160，正確答案為B。1/1.2=5/6。再比如，一件商品的價(jià)格為a元，第一次調(diào)價(jià)時(shí)上漲了50%，第二次調(diào)價(jià)時(shí)又下降了80%，問現(xiàn)在的價(jià)格是調(diào)價(jià)前的多少?(30%)像這樣的反復(fù)變化的比例關(guān)系并無難點(diǎn)，關(guān)鍵是一定要弄清楚和誰比增加或者下降，現(xiàn)在是多少，以上題為例，商品的價(jià)格為a元，第一次調(diào)價(jià)時(shí)上漲了50%，則此時(shí)商品的價(jià)格為1.5a元，第二次調(diào)價(jià)時(shí)又下降了80%，則此時(shí)的價(jià)格為1.5a×(1-80%)=0.3a元。

　　【例17】 甲、乙、丙三人買書共花費(fèi)96元錢，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，則甲、乙、丙三人花的錢的比是( )。(2002年B類真題)

　　A.3：5：4 B.4：5：6 C.2：3：4 D.3：4：5

　　【解析】我們通常采用方程法，即設(shè)甲的花費(fèi)為X元，則3X+16+8=96，則X=24，盡而可算出比例關(guān)系為3：4：5即為選項(xiàng)D。這里請(qǐng)注意，我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的答題時(shí)應(yīng)盡量避免采用方程法，應(yīng)將這一方程運(yùn)算過程用習(xí)慣性思維替代，具體思維過程如下，用96-16-8=72，所得到就應(yīng)該是3倍甲的花費(fèi)，由此得到甲的花費(fèi)是24元。

　　【例18】 2001年，某公司所銷售的計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)比上一年度上升了20%，而每臺(tái)的價(jià)格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計(jì)算機(jī)銷售額為3000萬元，那么2000年的計(jì)算機(jī)銷售額大約是多少 ( ) ?

　　A.2900萬元 B.3000萬元 C.3100萬元 D.3300萬元

　　【解析】對(duì)一商品價(jià)格而言，如果上漲X后又下降X，求此時(shí)的商品價(jià)格原價(jià)的多少?或者下降X再上漲X，求此時(shí)的商品價(jià)格原價(jià)的多少?只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運(yùn)用簡(jiǎn)化公式，1-X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時(shí)則不可運(yùn)用簡(jiǎn)化公式，需要一步一步來。對(duì)于此題而言，計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)比上一年度上升了20%，每臺(tái)的價(jià)格比上一年度下降了 20%，因?yàn)殇N售額=銷售臺(tái)數(shù)×每臺(tái)銷售價(jià)格，所以根據(jù)乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的 1-(20%) =0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100，所以選擇C。

 

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